10 Calculadoras online para ajudar nos cálculos de Engenharia Elétrica e Eletrônica

10 Calculadoras online para ajudar nos cálculos de Engenharia Elétrica e Eletrônica

Devido ao grande número de acesso aos artigos sobre eletrotécnica, reuni aqui 10 calculadoras da web para ajudar nos cálculos de Engenharia Elétrica e Eletrônica, já que entre as engenharias, estas são as que mais exigem cálculos. E nada melhor do que termos disponível ferramentas e recursos que facilitem nosso trabalho para dinamização do nosso projeto e provas. Espero que esta dica seja útil pra vocês, amigos dos elétrons e da Electra...

A Matemática do delírio - Fractais

A MATEMÁTICA DO DELÍRIO - Fractais

O artista digita uma equação. A partir daí, o computador faz literalmente milhões de cálculos e vais desenhando os fractais, imagens cuja riqueza de detalhes só perde para a própria realidade.

O homem que colocou o infinito no bolso - Matemática

O HOMEM QUE COLOCOU O INFINITO NO BOLSO - Matemática

O alemão Georg Cantor, no início do século, desafiou o senso comum ao descobrir números que a imaginação matemática ainda não alcançava.

Álgebra: Arte de inventar o mundo - Matemática

ÁLGEBRA: ARTE DE INVENTAR O MUNDO - Matemática

Talvez a melhor maneira de compreender os seus símbolos e regras seja como criações livres do espírito - mas tão reais, à sua maneira, quanto os inventos dos outros ramos do saber.

Kepler: Os Caminhos dos Planetas

KEPLER: OS CAMINHOS DOS PLANETAS

Em pleno século XVII, ele estabeleceu as três leis gerais que descrevem as órbitas planetárias e promoveu uma revolução na Astronomia.

Johannes Kepler foi concebido às 4h37 da madrugada do dia 16 de maio de 1571 na aldeia de Weill região da Suábia, Sudoeste da Alemanha - e nasceu às 15h30 de 27 de dezembro, exatamente 224 dias, 9 horas e 33 minutos mais tarde. Esses são, pelo menos, os cálculos inscritos numa espécie de horóscopo que Kepler fez para si mesmo e sua família. Segundo o documento, seus parentes formavam uma formidável constelação de indivíduos degenerados, neuróticos ou francamente malucos. O que não impediria Kepler de revolucionar a Astronomia, estabelecendo as três leis gerais das órbitas planetárias, base sobre a qual o físico inglês Isaac Newton construiria, em 1665, a grande síntese da gravitação universal.

Kepler era uma criança enfermiça, de membros delicados, e sofria de miopia e poliocopia anocular (visão múltipla). Mas, graças à inteligência brilhante, foi aceito aos 13 anos no seminário teológico de Adelberg. Ganhara uma bolsa de estudo concedida pelo duque de Wurttemberg. Neurótico, como era de esperar, Kepler abominou o seminário em geral e seus colegas em particular. Atormentado por problemas de relacionamento, refugiou-se nos estudos. Tornou-se muito bem-visto pelos professores, alguns dos quais permaneceram seus amigos ao longo de toda a sua existência.

Há várias indicações de que no final da adolescência seu temperamento tornou-se mais fácil. Diplomou-se pela Faculdade de Artes da Universidade de Tubingen aos 20 anos e ingressou então na Faculdade Teológica, onde estudou mais quatro anos. Antes que pudesse prestar os exames finais, recebeu um proposta para ocupar o posto de professor de Matemática e Astronomia de Graz, capital da Estíria, província austríaca. Além das aulas, Kepler devia preparar todos os anos um calendário de previsões astrológicas, tarefa que ele classificava de "diversão simiesca e sacrílega", mas lhe rendia vinte florins extras. "O espírito habituado à dedução matemática, quando se vê frente a frente com os falsos alicerces da Astrologia", lamentava-se ele, "resiste longamente como um burro teimoso até que, compelido pelas pancadas e pragas, mergulha o pé no imundo lamaçal".

O acontecimento capital de sua estada em Graz, no entanto, foi uma espécie de lampejo que lhe atravessou o espírito em 9 de julho de 1595, no instante em que desenhava figuras geométricas no quadro-negro. Note-se que essa famosa descoberta era inteiramente equivocada e hoje parece estapafúrdia. Kepler estava ensinando a seus alunos o sistema heliocêntrico - os planetas girando em torno do Sol, grande novidade exposta havia apenas doze anos pelo astrônomo polonês Nicolau Copérnico (SUPERINTERESSANTE número 1, ano 3). Subitamente, pareceu-lhe muito significativo o fato de existirem apenas seis planetas (Urano, Netuno e Plutão ainda não haviam sido descobertos) e cinco sólidos perfeitos: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

Ocorreu-lhe inscrever e circunscrever esses cinco sólidos em seis esferas. E verificou que a distância entre as diferentes esferas era proporcional à distância real existente entre as órbitas dos diferentes planetas. Ou melhor, mais ou menos proporcional. Porque, se os números concordavam aproximadamente no caso de Marte, da Terra e de Vênus, tornavam-se totalmente discrepantes para Júpiter e Mercúrio. Kepler "quebrou o galho" alegando que a discrepância em relação a Júpiter não espantaria ninguém, já que o planeta ficava "longe demais". Quanto a Mercúrio, recorreu provisoriamente à fraude, alterando o número segundo suas conveniências.

Mas era honesto demais para se contentar com esses subterfúgios e, na tentativa de provar sua teoria maluca, mergulhou em pesquisas persistentes e detalhadas sobre o sistema solar. Em 1596, aos 24 anos, Kepler publicou um resumo de suas primeira tentativas na obra intitulada Mysterium cosmographicum. No ano seguinte, casou-se. O horóscopo do dia do casamento, 27 de abril de 1597, que apresentava um "céu calamitoso" cumpriu-se integralmente. 

Após atormentar a paciência do marido durante catorze anos, Barbara Kepler morreu louca. A vida do casal foi agitada. Mal tinham se casado, quando o jovem arquiduque Fernando de Hamburgo (mais tarde imperador Fernando II) achou que era hora de varrer as províncias austríacas da heresia luterana. No verão de 1598, a escola de Kepler fechou as portas e em setembro todos os professores luteranos receberam ordem de abandonar as províncias. Kepler, que tinha amigos entre os jesuítas, conseguiu evitar o exílio forçado, mas perdeu o emprego. A prudência recomendava que fosse procurar novos ares.

Há algum tempo ele desejava visitar o famoso astrônomo dinamarquês Ticho Brahe no observatório de Uraniborg, na ilha de Hven entre Copenhague, na Dinamarca, e Helsingborg, na Suécia. Ticho, obcecado pela idéia de precisão nas observações que fazia, dedicara-se a construir instrumentos científicos cada vez mais perfeitos e a comparar uns com os outros, para conhecer o erro inerente a cada um. Com eles produziu, ao longo de 35 anos, grossos volumes de anotações, espantosamente precisas para os padrões da época, que pretendia utilizar para reentronizar a Terra como o centro do Universo - posição da qual começava a ser afastada desde a publicação dos trabalhos de Nicolau Copérnico.

O notável observador tinha, no entanto, escassos dotes para a Matemática - daí alegrar-se com a perspectiva de ter Kepler a seu lado, a fim de fornecer-lhe os cálculos necessários para dar sustentação à sua idéia. Kepler, ao contrário, esperava ter acesso aos volumes de Ticho para desenvolver suas próprias teorias a respeito sobretudo da movimentação dos planetas. A hora era boa à execução do projeto, tanto mais que, por coincidência, Ticho se desentendera com o rei Cristiano IV e acabara de se mudar da longínqua Uraniborg para a cidade de Praga, capital da atual Tchecoslováquia, onde recebera o posto de Matemático Imperial das mãos do imperador Rodolfo II.

Os dois homens já se correspondiam há algum tempo e, sabendo que Kepler se encontrava em situação precária, Ticho convidou-o a mudar-se para Praga, onde poderia viver e trabalhar como seu hóspede no castelo de Benatek. A convivência diária entre eles foi, no entanto, um pesadelo. Kepler pretendia trabalhar em paz. Encontrou o castelo em reformas para a instalação do observatório e cheio de visitantes e membros da corte pessoal de Ticho Brahe. O pior é que não conseguia obter os dados que tanto desejava.

Queixou-se numa carta: "Ticho não permite que eu participe de suas experiências. Só durante as refeições, entre outros assuntos, ele menciona, de passagem, hoje o número do apogeu de um planeta, amanhã outro dado qualquer". Sabe-se lá qual seria o fim da relação entre os dois astrônomos se a morte não tivesse chegado para separá-lo dezoito meses depois do primeiro encontro. Ticho Brahe morreu inesperadamente e foi enterrado em Praga em 4 de novembro de 1601. Dois dias mais tarde, Kepler foi nomeado para sucedê-lo no posto de Matemático Imperial. Em Praga, Kepler ficou os onze anos seguintes, boa parte dos quais dedicou a cuidadosas observações da trajetória do planeta Marte.

Foi o período mais fértil de sua vida, sobretudo porque, confrontado com o fato de que Marte não se comportava nem como desejava Ticho Brahe nem como descrito no trabalho de Copérnico, pôs-se a elaborar sua própria teoria para dar seqüência às observações. Em 1601, publicou sua obra-prima, Astronomia Nova, que trazia duas de suas três leis planetárias fundamentais. A primeira delas afirma que os planetas descrevem órbitas em forma de elipses com o Sol em um dos seus focos. A segunda lei afirma que a velocidade dos planetas varia de tal forma que percorrem áreas iguais em tempos iguais.

São as primeiras leis naturais no sentido moderno, na medida em que utilizam termos matemáticos para descrever relações universais governando fenômenos particulares. Com ela, a Astronomia separou-se da Teologia para unir-se à Física. Não foi um divórcio fácil. Desde os gregos, filósofos afirmavam que os astros percorriam trajetórias circulares em velocidade uniforme. A tarefa dos astrônomos consistia, sobretudo, em construir sistemas cada vez mais complicados para conciliar essa "verdade decretada" com as observações que iam fazendo com seus próprios olhos. 

Um dos sistemas em voga no tempo de Kepler distinguia dois centros para o sistema solar: um centro físico, que seria o próprio Sol, e um centro geométrico (não coincidente com o primeiro) eqüidistante de todos os pontos da órbita circular. Dava-se, igualmente, muita importância ao chamado punctum equans, ponto a partir do qual o planeta apresentava a velocidade angular constante. Kepler gastou cinco anos e cobriu novecentas páginas com cálculos em letra pequena na tentativa de determinar esses três pontos para o caso de Marte. Fracassou. Somente então, esgotadas todas as possibilidades, ousou examinar a hipótese de astros percorrendo órbitas não circulares em velocidades variáveis. Refez os cálculos e sem mais idéias preconcebidas e dentro de um ano encontrou as duas primeiras leis.

Nunca teria chegado a esse resultado se não tivesse herdado as observações acumuladas ao longo dos anos por Ticho Brahe. No último estágio de seus cálculos, empregou 180 medidas diferentes da distância entre o Sol e Marte. Mas de nada lhe adiantariam todos esses números se não possuísse também poderosa intuição sobre os mecanismos do Universo. Foi assim, por exemplo, que muito antes de Newton ele já descrevia a gravitação universal nos seguintes termos: "Se duas pedras fossem colocadas em qualquer lugar do espaço, uma perto da outra, e fora do alcance de um terceiro corpo material, unir-se-iam, à maneira dos corpos magnéticos, num ponto intermediário, aproximando-se cada uma em proporção à massa da outra".

E mais adiante: "Se a Terra cessasse de atrair as águas do mar, os mares se ergueriam e iriam ter à Lua (...)". "Se a força de atração da Lua chega até a Terra, segue-se que a força de atração da Terra, com maior razão, vai até a Lua e ainda mais longe." Caso Kepler tivesse se preocupado em conciliar a idéia da atração universal com suas próprias leis, poderia ter ido ainda mais longe. Mas parece ter recuado por uma espécie de repugnância filosófica partilhada por Galileu, Descartes - e o próprio Newton, de início -  diante dessa força fantasmagórica capaz de agir a distâncias astronômicas, sem agente intermediário e de maneira instantânea, um conceito aparentemente místico e não "científico", indigno de cientistas modernos como ele. 

Outros interesses e preocupações iriam ocupá-lo nos anos seguintes. Galileu publicou na Itália o Mensageiro das Estrelas, em que anunciava algumas descobertas feitas com o uso de um novo e revolucionário aparelho, o telescópio - e a que mais controvérsias causou foi a descoberta de quatro planetas (na verdade, satélites) girando ao redor de Júpiter. Kepler foi o primeiro nome de peso a apoiar o trabalho de Galileu, mas nem por isso conseguiu que estes lhe enviasse um telescópio para suas próprias observações. Quando conseguiu um, emprestado pelo duque de Colônia, escreveu Dioptrice, um tratado no qual lança as bases da Ótica, novo ramo da Física.

Com 141 definições, axiomas e proposições precisas e austeras, o tratado é uma exceção na sua obra cheia de digressões filosóficas. O ano de 1611 trouxe-lhe uma série de desgraças. Rodolfo II, seu protetor, foi obrigado a abdicar do trono, a vida em Praga tornou-se insuportável pelos efeitos acumulados da guerra civil e das epidemias. Morreram-lhe a mulher e um filho. Conseguiu conservar o posto de Matemático Imperial, mas foi transferido para a cidade de Linz, na Áustria, onde viveria catorze anos, até a idade de 55. Ali também não lhe faltaram peripécias. Casou-se novamente e dessa vez parece ter sido mais feliz. Susanna deu-lhe sete filhos. Em compensação, enfrentou horas dramáticas durante o processo de sua própria mãe, acusada de feitiçaria. Ainda assim continuou produzindo e, em 1618, terminou Harmonice Mundi (Harmonia do Mundo), uma espécie de síntese geral englobando Geometria, Música, Astrologia e Astronomia.

O fracasso dessa ambição desmedida só não foi absoluto porque, no meio de toda a barafunda que é o livro, aparece anunciada com toda a clareza a sua terceira lei sobre as órbitas planetárias: "Os quadrados dos períodos de revolução de dois planetas quaisquer estão entre si como os cubos de suas distâncias médias do Sol". Nos onze últimos anos que ainda lhe restariam de vida, Kepler publicou mais duas obras importantes: a Epitome astronomiae copernicanae e as Tabulae rudolphinae. Na Epitome ele demonstra que as leis planetárias originalmente deduzidas para o caso de Marte também são válidas para todos os outros planetas conhecidos, também para a Lua e para os satélites de Júpiter.

As Tabulae rudolphinae - assim batizadas em honra do imperador Rodolfo II - são as observações de Ticho Brahe, organizadas e ampliadas pelo próprio Kepler. Além de tabelas e regras para a localização dos planetas, o livro traz um catálogo de pouco mais de mil estrelas. Com a Europa convulsionada  pela Guerra dos Trinta Anos, a vida particular de Kepler tornou-se cada vez mais problemática. Parte de Linz foi destruída por um incêndio durante a revolução camponesa de 1626 e ele deixou a cidade sem planos definitivos. Viveu um ano em Ulm, visitou Praga e acabou se instalando no condado de Sagan, na Silésia. Estava na miséria. O salário de Matemático Imperial, teoricamente muito bom, raramente chegava a ser pago. Em outubro de 1629, tomou o rumo de Viena, nova sede da corte, com a idéia de cobrar pelo menos parte do que lhe era devido. Morreu no caminho, poucos dias depois de chegar à cidade de Ratisbona - ou a Regensburg, segundo outra versão -, em 15 de novembro de 1630. Sua sepultura acabou destruída.

As três leis, em resumo

1 - A órbita de um planeta P tem a forma de elipse com o Sol S em um dos seus focos. T é a Terra.

2 - Os planetas percorrem áreas iguais em tempos iguais, como para ir de B a A, de D a C, de F a E. As áreas BSA, DSC e FSE são iguais.

3- Os quadrados dos períodos de revolução de dois planetas quaisquer estão entre si da mesma forma que os cubos de suas distâncias médias do Sol. Isso se aplica também a Urano, Netuno e Plutão, que Kepler não chegou a conhecer.

Por analogia entre a idéia e a observação.

Por Albert Einstein

Em nossos tempos, justamente os momentos de grandes preocupações e de grandes tumultos, os homens e suas políticas não nos fazem muito felizes. Por isso estamos particularmente comovidos e confortados ao refletirmos sobre um homem tão notável e tão impávido quanto Kepler. No seu tempo, a existência de leis gerais para os fenômenos da natureza não gozava de nenhuma certeza. Por conseguinte, ele devia ter uma singular convicção sobre essas leis para lhes consagrar, dezenas de anos a fio, todas as suas forças, num trabalho obstinado e imensamente complicado.

Com efeito, ele procura compreender empiricamente o movimento dos planetas e as leis matemáticas que o expressam. Está sozinho. Ninguém o apoia nem o compreende. Copérnico fizera notar, antes dele, que o melhor meio de compreender e de explicitar os movimentos aparentes dos planetas consiste em considerar esses movimentos como revoluções ao redor de um suposto ponto fixo, o Sol. Portanto, se o movimento de um planeta ao redor do Sol como centro fosse uniforme e circular, seria singularmente fácil descobrir, a partir da Terra, o aspecto desses movimentos. Mas, na realidade, os fenômenos são mais complexos e o trabalho do observador muito mais delicado. Foi preciso primeiro determinar tais movimentos empiricamente, utilizando as tabelas de observação de Ticho Brahe,. Somente  depois desse enfadonho trabalho, tornou-se possível encarar ou sonhar com as leis gerais a que se moldariam esses movimentos.

Mas o trabalho de observação dos movimentos reais de revolução é muito árduo e, para tomar consciência deles, é preciso meditar na evidência:  jamais se observa em momento determinado o lugar real de um planeta. Sabe-se somente em que direção ele é observado da Terra, que, por seu lado, perfaz ao redor do Sol um movimento cujas leis ainda não são conhecidas. As dificuldades pareciam praticamente insuperáveis.

Kepler viu-se forçado a encontrar o meio para organizar o caos. A princípio, ele descobre que é preciso tentar determinar o movimento da própria Terra. Ora, esse problema seria simplesmente insolúvel se só existisse o Sol, a Terra, as estrelas fixas, com a exclusão dos outros planetas. Porque se poderia, empiricamente, determinar a variação anual da direção da linha reta Sol-Terra (movimento aparente do Sol em relação às estrelas fixas). Mas seria só isso. Poder-se-ia também descobrir  que todas essas direções se situariam num plano fixo em relação às estrelas, na medida em que a precisão das observações recolhidas na época permitira formulá-lo. Porque ainda não existia o telescópio!

Ora, era preciso determinar como a linha Sol-Terra evolui ao redor do Sol. Kepler notou então que, a cada ano, regularmente, a velocidade angular desse movimento se modificava. Mas essa verificação não ajudou muito, porque não se conhecia ainda a razão por que a distância da Terra ao Sol variava. Se apenas se conhecessem as modificações anuais dessa distância, ter-se-ia podido determinar a verdadeira forma da órbita da Terra e a maneira como se realiza.

Kepler encontrou um processo admirável para resolver o dilema. Em primeiro lugar, de acordo com os resultados das observações solares, ele viu que a velocidade do percurso aparente do Sol contra o último horizonte das estrelas fixas é diferente nas diversas épocas do ano. Mas viu também que a velocidade angular desse movimento permanece sempre a mesma na mesma época do ano astronômico. Portanto, a velocidade de rotação da linha Terra-Sol é sempre a mesma, se está dirigida para a mesma região das estrelas fixas. Pode-se, então, supor que a órbita da Terra se fecha sobre si mesma e que ela a realiza todos os anos da mesma maneira.

Essa descoberta já significou um progresso. Mas como determinar a verdadeira forma da  órbita da Terra? Imaginemos uma lanterna M, colocada em algum  lugar no plano da órbita, que lança viva luz e conserva uma posição fixa, conforme já verificamos. Ela constituirá então, para a determinação da órbita terrestre, uma espécie de ponto fixo de triangulação ao qual os habitantes da Terra poderiam se referir em qualquer época do ano. Precisemos ainda que essa lanterna está mais afastada do Sol do que da Terra. Graças a ela, pode-se avaliar a órbita terrestre.

 Ora, a cada ano, existe um momento em que a Terra T se situa exatamente sobre a linha que liga o Sol S à lanterna M. Se, nesse momento,  se observar da Terra T a lanterna M, essa direção será também a direção SM (Sol-lanterna). Imaginemos essa última direção traçada no céu. Imaginemos agora uma outra posição da Terra, em outro momento. Já que, da Terra, se pode ver tão bem o Sol S quanto a lanterna M, o ângulo em T do triângulo STM se torna conhecido. Mas conhece-se também pela observação direta do Sol a direção ST em relação às estrelas fixas, ao passo que anteriormente a direção da linha SM em relação às estrelas fixas fora determinada de uma vez por todas.  Conhece-se igualmente no triângulo STM o ângulo em S. Portanto, escolhendo-se à vontade uma base SM, pode-se traçar no papel, graças ao conhecimento dos dois ângulos em T e em S, o triângulo STM. Será então possível operar assim várias vezes durante o ano e, de cada vez, se desenhar no papel um localização para a Terra T, com a data correspondente e sua posição em relação à base SM, fixa de uma vez por todas. Kepler determinou assim, empiricamente, a órbita terrestre.

Porém, objetarão, onde é que Kepler encontrou a lanterna M? Seu gênio, sustentado pela inesgotável e benéfica natureza, ajudou-o a encontrar. Podia, por exemplo, utilizar o planeta Marte. Sua revolução anual, isto é, o tempo que Marte leva para realizar uma volta ao redor do Sol, era conhecida. Pode acontecer o caso em que Sol, Terra, Marte se encontrem exatamente na mesma linha. Ora, essa posição de Marte repete-se a cada vez depois de um, dois etc. anos marcianos, porque Marte realiza uma trajetória fechada. Nesses momentos conhecidos, SM apresenta sempre a mesma base, ao passo que a Terra se situa sempre em um ponto diferente de sua órbita. Portanto, nesses momentos, as observações sobre o Sol e Marte oferecem um meio para se conhecer a verdadeira órbita da Terra, pois o planeta Marte reproduz nessa situação a função de lanterna imaginada e descrita acima.

Kepler descobriu assim a forma justa da órbita terrestre, bem como a maneira pela qual a Terra a realiza. Temos de admirar e glorificar Kepler por sua intuição e sua fecundidade. A órbita terrestre estava então empiricamente determinada; conhece-se a qualquer momento a linha SA em sua posição e grandeza verdadeiras. Portanto, em princípio, não devia ser  muito mais difícil para Kepler calcular, pelo mesmo processo e por observações, as órbitas e os movimentos dos  outros planetas. Mas na realidade isso apresentava enorme dificuldades, porque as matemáticas de seu tempo ainda não eram primárias.

Contudo, Kepler ocupou sua vida com uma segunda questão, igualmente complexa. As órbitas, ele as conhecia empiricamente, mas seria preciso deduzir suas leis desses resultados empíricos. Ele estabeleceu uma suposição sobre a natureza matemática da curva da órbita e foi verificá-la depois por meio de enormes cálculos numéricos. E, se os resultados não coincidiam com a suposição, ele imaginava outra hipótese e verificava de novo. Executou prodigiosas pesquisas e obteve um resultado conforme a hipótese ao imaginar o seguinte: a órbita é uma elipse da qual o Sol ocupa um dos focos. Encontrou então a lei pela qual a velocidade varia durante uma revolução, no ponto em que a linha Sol-planeta realiza, em tempos idênticos, superfícies idênticas. Enfim, Kepler descobriu que os quadrados de durações de revolução são proporcionais às terceiras potências dos grandes eixos de elipses.

Nós admiramos esse homem maravilhoso. Porém, para além desse sentimento de admiração e veneração, temos a impressão de nos comunicar não mais com um ser humano mas com a natureza e o mistério de que estamos cercados desde nosso nascimento. A razão humana, eu o creio muito profundamente, parece obrigada a elaborar antes e espontaneamente  formas cuja existência na natureza se aplicará a demonstrar em seguida. A obra genial de Kepler prova essa intuição de maneira particularmente convincente. Ele dá testemunho de que o conhecimento não se inspira unicamente na simples experiência, mas fundamentalmente na analogia entre a concepção do homem e a observação que faz. 

O veemente advogado de Katherine

Entre 1615 e 1629, 38 mulheres acusadas de feitiçaria foram queimadas vivas na praça principal de Weill, a aldeia onde nasceu Kepler. Em Leomberg, a localidade vizinha, outras seis tiveram a mesma sorte, apenas na primavera de 1615. Katherine, a mãe de Kepler, que estava vivendo em Leomberg e era especialmente malquista, logo se viu cercada por suspeitas. Segundo se comentava, ela teria oferecido bebidas à mulher de um certo Bastian Meyer e ao mestre-escola Beutelspacher. O mestre-escola ficou paralítico e a senhora Meyer morreu de mal súbito. Também morreram os dois filhos do alfaiate Daniel Schmidt, supostas vítimas de seu mau-olhado. Diziam todos na aldeia, enfim, que ela era capaz de entrar nas casas através das portas fechadas e que mandara o coveiro desenterrar o crânio de seu próprio pai para fazer uma taça.

Mas o que parece ter desencadeado a abertura do processo foi uma briga com a mulher do vidraceiro Jacob Reinho, cujo irmão tinha certa influência por ser barbeiro da corte do duque de Wurttemberg. Nos seis anos seguintes, deixando de lado antigos desentendimentos, Kepler dedicou-se à tarefa de salvar sua mão da fogueira. Sua conhecida veemência parece ter impressionado desfavoravelmente o escrivão que deixou anotado: "A acusada apareceu neste tribunal acompanhada, infelizmente, pelo filho Johannes Kepler, matemático". A fase final do processo demorou um ano. O ato de acusação continha 49 itens e o da defesa, redigido em sua maior parte pelo próprio Kepler, se estendia por 128 páginas. Katherine foi finalmente libertada, mas não pôde voltar a Leomberg. A população local estava decidida a linchá-la.

C=168.267

A Face Oculta do Caos - Física

A FACE OCULTA DO CAOS - Física

Um grupo de jovens pesquisadores rebeldes arma-se de equações e computadores para desencadear a revolução científica que vê um dos mais estranhos segredos do mundo material: existe ordem onde menos poderia parecer. Como uma torneira que pinga.

Santa Cruz era o mais novo campus da Universidade da Califórnia, esculpido num cenário de livro de histórias, uma hora ao Sul de São Francisco. As pessoas às vezes diziam que mais parecia uma reserva florestal do que uma faculdade. Os prédios ficavam aninhados entre sequóias e, bem no espírito da década de 60, seus planejadores fizeram questão de conservar todas as árvores. Como outros departamentos, o de Física teve de ser criado do nada, começando com um corpo docente de aproximadamente quinze físicos, todos muito ativos e, na memória, jovens. Sua diversidade de interesses convinha a um corpo de aluno brilhantes e inconformistas. Pelo menos os professores pensavam assim. No final da década de 70, o departamento deparou-se com uma míni-revolução, um levante entre os estudantes graduados. O que estes queriam aprender ninguém podia ensinar - uma disciplina recém-criada e mal definida chamada caos. Dez anos depois, o caos tornou-se um dos campos da ciência que mais rápido cresce, oferecendo uma nova maneira de encontrar ordem que aparentemente não têm ordem alguma. Médicos descobrem uma ordem surpreendente na fatal desordem capaz de vencer o coração humano, um tremor espasmódico que é a causa primeira de uma morte súbita e inexplicável. Economistas estão desencavando velhas cotações de bolsas de valores para tentar um novo tipo de análise. Percepções que começaram com Física e Matemática puras remeteram diretamente ao mundo natural - as formas das nuvens, o comportamento dos relâmpagos, o entrelaçamento microscópico dos vasos sanguíneos, a aglomeração galáctica de estrelas. Cientistas estão encontrando padrões universais no comportamento do tempo, no comportamento dos carros congestionando vias expressas, no comportamento do petróleo fluindo nos oleodutos subterrâneos. A nova ciência começou a modificar a maneira pela qual executivos tomam decisões sobre seguros, a maneira pela qual astrônomos olham o sistema solar, a maneira pela qual teóricos políticos falam das tensões que levam a conflitos armados.

Novas idéias podem ser difíceis de ser concebidas e a inexperiente ciência do caos colidiu com algumas tradições firmemente enraizadas - por exemplo, a crença de que sistemas simples devem produzir comportamento simples e ordenados. Quando um punhado de estudantes da Santa Cruz se enredou nos primeiros fios enovelados da nova ciência, perceberam-se totalmente sozinhos. Fora dali, em diversos laboratórios e departamentos de Física, alguns cientistas apaixonadamente iconoclastas estavam criando uma nova disciplina. Um meteorologista, Eduardo Lorenz, tinha descoberto um formato misterioso, mais tarde denominado estranho atrator, que iluminava a caótica imprevisibilidade do tempo que faz na terra.

Um matemático, Benoit Mandelbrot, havia descoberto uma família de padrões que se tornou o fundamento da Geometria fractal. Um físico, Mitchell Feigenbaum, descobria ligações insuspeitadas entre famílias inteiras dos sistemas caóticos, desenvolvendo uma teoria que relacionaria fluidos turbulentos a circuitos eletrônicos flutuantes aos ritmos da própria vida. Todos eles estavam reexaminando muitos sistemas físicos aparentemente fortuitos ou caóticos, descobrindo novas maneiras de formular equações para descrevê-los e daí usando computadores para criar padrões visuais a partir das equações - padrões que não eram óbvios de nenhum outro modo. 

Os estudantes, que apenas se iniciavam nessas descobertas instigantes, não sabiam como proceder. A educação de um físico depende do sistema de orientadores e orientados. Um bom orientador ajuda seu aluno a escolher problemas administráveis e fecundos. Se o relacionamento der certo, a influência do professor ajudará o estudante a conseguir emprego. Mas em 1977 não havia orientadores na área do caos. Não havia aulas de caos, nem manuais sobre caos, nem sequer uma publicação dedicada ao caos. Os estudantes tinham de inventar eles próprios o campo de estudos - e, ao fazê-lo, eles conseguiram desenvolver o assunto para todo o mundo.

Em Santa Cruz, o caos começou com um estudante barbudo, natural de Boston e formado pela Universidade de Harvard, chamado Robert Stetson Shaw, que em 1977 estava para completar 31 anos. Isso fazia dele praticamente o mais velho da turma. Sua carreira em Harvard havia sido interrompida diversas vezes, primeiro pelo serviço militar, depois pela decisão de viver numa comunidade e ainda por outras experiências improvisadas. Shaw era quieto, tímido, mas de forte presença. Ele estava a poucos meses de completar sua tese de doutorado em supercondutividade, então um assunto respeitável, embora de certa forma estagnado.

Ninguém estava particularmente preocupado com o fato de ele perder seu tempo lá embaixo no prédio de Física brincando com um computador analógico. Na evolução dos computadores, os analógicos representavam um beco sem saída. Computadores digitais, construídos a partir de circuitos que podiam ser ligados ou desligados, zero ou um, sim ou não, davam respostas precisas às perguntas feitas pelos programadores. Computadores analógicos, por sua própria concepção, eram muito vagos.

Em sua estrutura não havia interruptores do tipo sim-não, mas circuitos eletrônicos como resistências e condensadores, facilmente reconhecidos por qualquer pessoa que tivesse lidado com rádios, antes que a miniaturização de aparelhos eletrônicos solid-state impedisse que amadores desmontassem tais equipamentos. O computador analógico de Santa Cruz era uma coisa pesada e empoeirada, com um painel de madeira na fachada, como aqueles usados antigamente em mesas telefônicas. Programar um computador analógico era questão de conectar e desconectar fios. Ao conceber diversas combinações de circuitos, um programador simula sistemas de equações de modo a fazê-los adaptar-se perfeitamente a problemas de engenharia. Digamos que alguém queira projetar uma suspensão de automóvel capaz de proporcionar a viagem mais suave possível. Um condensador substitui a mola, indutores representam a massa e assim por diante. Obtém-se um modelo feito de metal e elétrons, bastante rápido e - o que é melhor - facilmente ajustável . Simplesmente girando-se botões, pode-se tornar as molas mais fortes ou a fricção mais fraca. E podem-se observar os resultados sob a forma de um osciloscópio.

Um belo dia, um amigo astrofísico, William Burke, entregou a Shaw uma folha de papel com três equações rabiscadas e pediu-lhe que as colocasse em seu computador. As equações pareciam simples. Edward Lorenz as havia escolhido como um método despojado para calcular um processo conhecido em Meteorologia, os movimentos ascendentes e descendentes do ar ou da água, chamado convecção. Shaw levou apenas poucas horas para conectar os fios adequados e ajustar os botões. Alguns minutos mais tarde, ele viu aparecer na tela um padrão peculiar, cambiante e infinitamente complicado - e soube então que nunca terminaria sua tese sobre supercondutividade.

A tela de Shaw proporcionava uma maneira de criar diagramas abstratos de comportamento dinâmico de longo prazo de qualquer sistema físico - uma bolinha de gude imóvel no fundo de um buraco, um relógio de pêndulo balançando monotonamente ou o tumulto imprevisível do tempo na Terra. Para a bolinha de gude em repouso, o diagrama seria simplesmente um ponto. Para um sistema periodicamente cíclico como o relógio de pêndulo, o diagrama teria a forma de uma lançada. Para o sistema enganadoramente simples das três equações da convecção, o diagrama era algo completamente diferente. Esse sistema de fluidos ascendentes e descendentes comportava-se caoticamente como a própria atmosfera, um sistema muito mais complicado, embora relacionado a ele. Um sistema caótico nunca se repete de uma maneira periódica e o diagrama que Shaw começava a estudar nunca girava em torno de si do mesmo modo.

Em vez disso, tinha uma forma intricada e recorrente, uma espécie de dupla espiral, enrolando-se primeiro numa direção, depois em outra. Shaw sabia que Edward Lorenz, do MIT (Massachusetts Institute of Technology), havia descoberto esse tipo de padrão em 1963. Lorenz reconheceu sua importância quando tentava fazer previsões do tempo no computador. Mas a natureza caótica do atrator significa que previsões de longo prazo seriam impossíveis.

Ao mesmo tempo, o estranho atrator revelava padrões inesperados. Era sinônimo de desordem e imprevisibilidade mas, ainda assim, significava um novo tipo de ordem no tumulto. Dois cientistas franceses, David Roelle e Floris Takens, mais tarde dariam a esses padrões seu nome provocativo: estranhos atratores. Shaw conhecia a nova linguagem da geometria fractal. No entanto, muito tempo havia passado antes que ele, assim como outros envolvidos em trabalhos do mesmo gênero, reconhecesse que a forma diante de seus olhos era um fractal, o que significa que revelava novas complexidades em escalas cada vez menores.

Assim, ele passou várias noites no laboratório observando o ponto verde do osciloscópio percorrendo a tela, traçando sem parar seu roteiro caótico e nunca exatamente no mesmo modo. O percurso da forma permaneceu na retina, oscilante e vibrante, diferente de qualquer objeto que Shaw conhecera em suas pesquisas. Parecia ter vida própria. Prendia a mente como uma chama que se move em padrões que nunca se repetem. Em criança, Shaw tinha tido ilusões a respeito do que seria a ciência - uma disparada romântica ao desconhecido. Isso, finalmente, era alguma coisa à altura de suas ilusões. E ele estava atraindo atenções. Ocorre que a entrada do Departamento de Física era bem do outro lado do corredor e muita gente passava por ali. 

Um dos que começaram a aparecer por lá foi Ralph Abraham, professor de Matemática. "Tudo o que tem a fazer é colocar suas mãos nesses botões e, de repente, estará explorando esse novo mundo no qual você é um dos primeiros viajantes e nem vai querer subir para tomar um pouco de ar", diz Abraham. "Shaw teve a experiência espontânea em que apenas um pouco de exploração revela todos os segredos". Logo Shaw começou a ter colegas. Doyne Farmer, natural do Novo México, alto, magro, cabelos cor de areia, tornou-se o porta -voz mais articulado do grupo que veio a se autodenominar Coletivo dos Sistemas Dinâmicos (outros, às vezes, chamavam-no Os Conspiradores do Caos).

Em 1977, Doyne tinha 24 anos, era todo energia e entusiasmo, uma máquina de idéias. O membro mais jovem do grupo era James Crutchfield, pequeno e atarracado, um estilista do windsurf e, o que era mais importante para o coletivo, um mestre nato em computação. Norman Packard, amigo de infância de Farmer, criado na mesma cidade de Silver City, no Novo México, chegara a Santa Cruz naquele outono, bem quando Farmer começava um ano de licença, disposto a dedicar toda sua energia ao plano de aplicar as leis do movimento ao jogo da roleta

O empreendimento da roleta era tão sério quanto forçado. Durante mais de uma década Farmer e Packard, junto com um grupo mutável de colegas físicos e alguns curiosos adotaram-no. Eles calcularam inclinações e trajetórias, escreveram e reescreveram programas, adaptaram computadores especiais nos sapatos e fizeram nervosas incursões a cassinos. Deve ser dito que o projeto proporcionou um treinamento incomum em análises rápidas de sistemas dinâmicos, mas fez pouco para tranqüilizar os professores de física de Santa Cruz. Tampouco eles entenderam por que Shaw abandonara sua tese sobre supercondutividade.

Por mais que estivesse entediado, raciocinavam, ele sempre poderia passar correndo pelas formalidades, acabar seu doutorado e entrar no mundo real. Quanto ao caos, havia questões de adequação acadêmica. Ninguém em Santa Cruz estava qualificado para supervisionar um curso neste campo-sem nome. E certamente não havia empregos para graduados com este tipo de especialidade. Mesmo assim, o coletivo tomou forma. Quando alguns equipamentos eletrônicos começaram a desaparecer de noite, tornou-se aconselhável procurá-los no antigo laboratório de Shaw, de Física de baixas temperaturas. Tracejadores de gráficos, conversores e filtros eletrônicos começaram a se acumular. Um grupo de físicos de partículas que trabalhava no mesmo corredor tinha um pequeno computador digital destinado ao ferro-velho. Foi parar no laboratório de Shaw.

A atabalhoada sensibilidade do grupo ajudava muito. Shaw tinha crescido brincando com engenhocas eletrônicas. Packard consertava aparelhos de TV. Crutchfield pertencia à primeira geração de matemáticos que considerava a lógica dos computadores uma linguagem natural. O prédio de Física em si era como o de qualquer lugar, com pisos de cimento e paredes sempre pedindo uma nova demão de pintura, mas a sala ocupada pelo grupo do caos criou sua própria atmosfera, com pilhas de escritos, fotografias de nativos do Taiti nas paredes e, como não poderia deixar de ser, impressos de computadores de estranhos atratores.

Praticamente a qualquer hora um visitante podia ver membros do grupo reorganizando circuitos, arrancando fios remendados, discutindo sobre consciência ou evolução, ajustando o painel de um osciloscópio, ou apenas observando um brilhante ponto verde traçar uma curva de luz, sua órbita vibrando e agitada como algo vivo. A educação tradicional na dinâmica dos sistemas físicos nunca revelara o potencial de tal complexidade porque se concentrava em sistemas lineares. Um sistema linear obedece às leis da proporção - quanto mais depressa se vai, mais longe se chega. A linearidade torna os cálculos fáceis ou, ao menos, manejáveis. Infelizmente, a maioria dos sistemas do mundo real não é linear.

Eles contêm uma certa torção, como a fricção, que não varia puramente como uma função de outras variáveis. A não-linearidade exigia cálculos mais difíceis. Era a mosca na sopa previsível da Mecânica clássica. Poucos consideraram a não-linearidade uma força criativa; mas foi a não-linearidade que criou os padrões misteriosamente belos dos estranhos atratores. "Não-linear era uma palavra que você só encontrava no final do livro", diz Farmer. "Um estudante de Física fazia um curso de Matemática e o último capítulo tratava de equações não-lineares. Geralmente essa parte era deixada de lado." Shaw e seus colegas tiveram de canalizar seu entusiasmo natural para um programa científico. Eles precisavam fazer perguntas que pudessem ser respondidas e que valessem a pena ser respondidas. Eles buscaram meios de interligar teoria e pesquisa - aí, pensavam, estava o vazio a ser preenchido. Antes mesmo de começar, foram obrigados a aprender o que era sabido e o que não era, e isso em si foi um desafio formidável.

Eles não tinham noção disso, mas seus problemas simbolizavam as barreiras que os pioneiros em caos enfrentavam nas mais diversas instituições - um punhado de pesquisadores, normalmente trabalhando por conta própria, receosos de discutir suas idéias não ortodoxas com os colegas. Os estudantes de Santa Cruz eram impedidos pela tendência de avançar aos poucos em ciência, particularmente quando um novo tema se atravessava em subdisciplinas estabelecidas. Freqüentemente, eles não tinham idéia se estavam em território novo ou conhecido e, na verdade, parte de seu trabalho seguia paralelo a descobertas feitas por matemáticos soviéticos. Logo perceberam que muitos tipos de questões poderiam ser levantados sobre os possíveis comportamentos de sistemas físicos simples e os estranhos atratores que eles produziam. Quais as suas formas características? O que a Geometria revelava sobre a física dos sistemas físicos correlatos? Um físico sempre quer calcular medidas. O que havia para ser medido nessas fantasmagóricas imagens em movimento?

Shaw e os outros tentaram isolar as qualidades especiais que tornavam os estranhos atratores tão encantadores. A imprevisibilidade era uma delas - mas onde encontrar os calibres para medir tal qualidade? A essa altura, o coletivo reunia-se com freqüência em um velho casarão não longe da praia. Nele se amontoavam móveis de segunda mão e equipamentos de computador destinados ao problema da roleta e à pesquisa dos estranhos atratores. Convivendo com esses estranhos atratores dia e noite, os jovens físicos começaram a reconhecê-los (ou a pensar que o faziam) nos fenômenos que sacudiam, batiam e oscilavam na vida cotidiana. Eles tinham de jogar esse jogo. Perguntavam-se: onde fica o mais próximo estranho atrator? Estaria no pára-choque barulhento do carro? Na bandeira tremulando a esmo na brisa? Numa folha que flutuava? "Você não enxerga algo até descobrir a metáfora correta que lhe faz percebê-lo", diz Shaw. Não tardou que seu amigo astrofísico Burke ficasse perfeitamente convencido de que o velocímetro de seu carro oscilava do modo não-linear típico do estranho atrator.

Shaw, ocupando-se de um projeto experimental que iria mantê-lo entretido por anos, adotou um sistema dinâmico tão caseiro quanto algum físico pudesse imaginar: uma torneira pingando. Como gerador de organização, uma torneira pingando oferece pouco para se trabalhar. Mas, para um investigador iniciante do caos, a torneira pingando provou ter certas vantagens. Todo mundo tem dela uma imagem mental. O fluxo de dados é o mais unidimensional possível: uma batida ritmada de pontos isolados mensuráveis no tempo. Nenhuma dessas qualidades poderia ser encontrada em sistemas que o grupo de Santa Cruz iria explorar mais tarde - o sistema imunológico humano, por exemplo, ou o perturbador efeito da interação de feixes que prejudicava inexplicavelmente o desempenho de partículas em colisão do Acelerador Linear de Stanford, ao norte de Santa Cruz.

Na torneira pingando, tudo que existe é a solitária linha de dados. E não é nem uma variação contínua de velocidade ou temperatura - apenas uma lista dos tempos de gotejamento. Os pingos podem ser regulares. Ou, como qualquer um descobre ao ajustar uma torneira, podem tornar-se irregulares e aparentemente imprevisíveis. Solicitado a organizar um ataque a um sistema como esse, um físico tradicional começaria por montar um modelo físico o mais completo possível. Os processos que norteiam a formação e a ruptura das gotas são compreensíveis, ainda que não sejam tão simples como possam parecer. Uma variável importante é o ritmo do fluxo. (Este deve ser lento, comparado à maioria dos sistemas hidrodinâmicos. Normalmente, Shaw observava o ritmo de uma a dez gotas por segundo.) Outras variáveis incluem a viscosidade do fluxo e a tensão de superfície.

Uma gota de água pendendo de uma torneira, à espera do momento de se romper, assume uma forma tridimensional complicada e apenas o cálculo dessa forma era, como diz Shaw, "o estado de arte em matéria de cálculo por computador". Uma gota enchendo-se de água é como um pequeno saco elástico de tensão superficial, oscilando para lá e para cá, aumentando a massa e expandindo as paredes até a ruptura.

Um físico que tentasse construir um modelo completo do problema da gota, formulando um conjunto de equações para depois tentar resolvê-las, acabaria no mato sem cachorro. Uma alternativa seria esquecer a Física e observar apenas os dados, como se estivessem saindo de uma caixa-preta. Dada uma lista de números representando intervalos entre as gotas, será que um especialista em dinâmica caótica encontraria algo útil para dizer? Na verdade, como foi comprovado mais tarde, podem-se conceber métodos para organizar esses dados dentro da Física e esses métodos se mostraram decisivos no que diz respeito à aplicação do caos a problemas do mundo real. Shaw começou a meio caminho entre esses dois extremos, fazendo uma espécie de caricatura de um modelo físico completo. Ele fez um resumo rudimentar da Física das gotas, imaginando um peso que pendesse de uma mola. O peso aumenta constantemente. A mola estica e o peso desce cada vez mais. A certa altura, uma porção do peso se rompe. A quantidade que se desprendesse, Shaw supôs arbitrariamente, dependeria apenas da velocidade da queda do peso descendente quando atingisse o ponto de ruptura.

Então, naturalmente, o peso restante voltaria para a posição anterior, como fazem as molas, com oscilações que estudantes aprendem a delinear usando equações normais. A característica interessante do modelo - a única característica interessante - era a torção não-linear que possibilita o comportamento caótico. O tempo preciso de uma gota dependia do ritmo do fluxo, é claro, mas dependia também de como a elasticidade desse saco de tensão superficial interagia com o peso que aumentava constantemente. Se uma gota iniciasse sua vida já em queda, ela se romperia mais cedo. Se acaso se formasse quando sua superfície inferior estivesse subindo, poderia encher-se com um pouco mais de água antes de romper-se.

Será que o modelo de Shaw geraria tanta complexidade como uma torneira de verdade? E essa complexidade seria da mesma espécie? Shaw instalou-se em um laboratório no prédio de Física, com uma grande tina de plástico de água sobre a cabeça. Quando uma gota caía, interrompia um feixe de luz e na sala ao lado um microcomputador marcava o tempo. Enquanto isso, Shaw fazia suas equações e operava o computador analógico, produzindo uma torrente de dados imaginários, muito parecidos às gotas da torneira real. Mas, para ir além, Shaw necessitava de um modo de colher dados puros de qualquer experiência e trabalhar com equações e estranhos atratores que pudessem revelar padrões ocultos.

Com um sistema mais complicado,uma variável poderia ser graficamente relacionada a outra, correlacionando mudanças na temperatura ou na velocidade com o passar do tempo. Mas a torneira pingando proporcionava apenas uma série de tempos. Shaw tentou, então, uma técnica desenvolvida pelo grupo de Santa Cruz, que foi talvez sua contribuição prática mais esperta e duradoura ao progresso do caos - um método de reconstruir um estranho atrator invisível que poderia ser aplicado a qualquer série de dados. Para os dados da torneira pingando, Shaw construiu um gráfico no qual o eixo horizontal representava um intervalo de tempo entre duas gotas e o eixo vertical representava o intervalo de tempo entre as duas seguintes.

Se entre a gota número um e a gota número dois decorressem 150 milésimos de segundo, e depois 150 milésimos de segundo decorressem entre a gota número dois e a gota número três, ele marcava um ponto na posição 150-150. Era tudo que havia a fazer. Se o gotejamento fosse regular, o gráfico seria apropriadamente inerte. Cada ponto cairia no mesmo lugar. O gráfico seria um simples ponto. Ou quase - na verdade, a primeira diferença entre a torneira pingando no computador e a torneira real era que esta estava sujeita a distúrbios, ou "ruído", sendo extremamente sensível. Shaw acabou fazendo a maior parte de seu trabalho à noite, quando o tráfego de pessoas no corredor era mínimo. O barulho significava que, em vez do simples ponto previsto pela teoria, ele veria uma mancha ligeiramente indistinta.

A medida que o fluxo aumentasse, o sistema passaria por uma mudança repentina nas suas características. Então as gotas cairiam em pares repetidos.Um intervalo poderia ser de 150 milésimos de segundo e o próximo, de 80. Assim, o gráfico mostraria duas manchas indistintas, uma centrada em 150-80 e outra em 80-150 e assim por diante. O verdadeiro teste ocorreu no momento em que o padrão se tornou caótico, quando o ritmo do fluxo foi novamente modificado. Se fosse mesmo fortuito, haveria pontos dispersos por todo o gráfico. Mas, se um estranho atrator estivesse oculto nos dados, poderia se revelar como um padrão vago mas perceptível.

Muitas vezes acontecia serem necessárias três dimensões para se ver a estrutura; mas isso não era problema. Em vez de assinalar cada intervalo em relação ao próximo, os cientistas assinalavam cada intervalo em relação a cada um dos dois subseqüentes. Era um truque, um artifício. Normalmente, um gráfico tridimensional requer o conhecimento de três variáveis independentes em um sistema. O truque possibilitava três variáveis pelo preço de uma. Refletiu a crença desses cientistas de que a ordem está tão profundamente contida na aparente desordem que encontraria um modo de se expressar, mesmo a pesquisadores que não soubessem quais variáveis físicas medir.

No caso da torneira de Shaw, as imagens ilustram o fato. Em três dimensões, sobretudo, os padrões apareciam como rastros de fumaça saindo de um avião, desses que escrevem no céu, descontrolado. Shaw poderia combinar sinais gráficos dos dados experimentais com os dados produzidos pelo modelo computadorizado, sendo a principal diferença o fato de os dados reais aparecerem sempre mais indistintos, manchados pelo ruído. Mas a estrutura era inconfundível. A medida que os meses passavam, a transição de rebeldes para físicos era lenta. De vez em quando, sentados em um café ou trabalhando em seu laboratório, um ou outro estudante tinha de conter o espanto que sua fantasia científica ainda não tinha eliminado. "Meu Deus, ainda estamos fazendo isso e ainda faz sentido", dizia Crutchfield. "Ainda estamos aqui: Até onde isso irá?"

A maioria dos professores de Física viu-se numa posição difícil. "Não tínhamos orientador, ninguém para nos dizer o que fazer", diz Shaw. "Durante anos ficamos numa situação à parte e isso persiste até hoje. Nunca tivemos recursos financeiros em Santa Cruz. Cada um de nós trabalhou períodos consideráveis sem receber nada e o tempo todo era uma operação de fundo de quintal, sem orientação intelectual ou de qualquer outro tipo." Cada membro do coletivo era chamado de lado de tempos em tempos para conversas francas. Eles eram advertidos de que, mesmo se de alguma forma fosse encontrada uma maneira de justificar um doutorado, ninguém seria capaz de ajudar os estudantes a conseguir um emprego em um campo inexistente.

Isso podia ser uma moda passageira, diziam os professores, e depois como é que vocês vão ficar? Na verdade, fora do abrigo de sequóias nas colinas de Santa Cruz, o caos estava criando seu próprio estabelecimento científico e o Coletivo dos Sistemas Dinâmicos deveria se juntar a ele. O ponto de inflexão foi uma aparição surpresa em um encontro sobre Física de matéria condensada realizado em Laguna Beach em 1978. O coletivo não fora convidado, mas apareceu assim mesmo, amontoando-se na caminhonete Ford 1959 de Shaw, apelidada por eles "Sonho Cremoso". Por via das dúvidas, o grupo levou equipamentos, incluindo um enorme monitor de TV e um videoteipe. Quando um orador convidado cancelou sua presença à última hora, Shaw avançou e tomou seu lugar.

A ocasião foi perfeita. O caos já ostentava a fama de ser mencionado a meia voz, mas poucos dos físicos presentes à conferência sabiam do que se tratava. Shaw começou então explicando os diferentes tipos de atratores, dos comuns aos estranhos; a princípio, os estados inertes (quando tudo fica imóvel); depois, ciclos periódicos (quando tudo oscila); e, por fim, estranhos atratores caóticos (o restante). Ele demonstrou sua teoria com gráficos computadorizados em videoteipe. ("Os meios audiovisuais nos deram uma vantagem", diz Shaw. "Podíamos hipnotizá-los com flashes de luz.") Ele ilustrou o atrator de Lorenz e a torneira que pinga. A palestra foi um triunfo popular e vários professores de Santa Cruz estavam no auditório, vendo o caos pela primeira vez através dos olhos de seus colegas.

Mas o coletivo não podia durar para sempre. Quanto mais se aproximava do mundo real da ciência, mais perto da separação se encontrava. Seus membros começaram a pensar no futuro individual e passaram a colaborar com físicos e matemáticos estabelecidos em outros lugares. Tendo aprendido a procurar estranhos atratores em bandeiras tremulantes e em velocímetros defeituosos, os cientistas fizeram questão de detectar os sintomas do caos em toda a Física atual. Peculiaridades outrora desprezadas como ruído - flutuações surpreendentes, regularidades misturadas a irregularidades - eram explicadas agora nos termos da nova ciência. Tais efeitos pipocaram de repente em escritos a respeito de tudo, desde lasers até circuitos eletrônicos.

Quando o coletivo se dissolveu - seus membros se dirigindo às mais importantes instituições de Física, do Laboratório Nacional de Los Álamos ao Instituto de Estudos Avançados de Princeton e à Universidade da Califórnia em Berkeley -, alguns professores de Santa Cruz também já haviam aderido ao caos. Eles estavam se associando a um movimento: químicos, ecologistas, economistas, climatologistas tentam atualmente reconstruir estranhos atratores a partir de dados brutos, assim como Shaw fizera em seus estudos com a torneira gotejante.

Especialistas em finanças usam as técnicas desenvolvidas pelo grupo de Santa Cruz para analisar décadas de cotações diárias de bolsas de valores,buscando padrões que acreditam existir ali. Muitos fisiólogos acreditam agora que o caos proporciona um modo de prever - e talvez de tratar  - ritmos irregulares no processo que governa a vida, desde a respiração até os batimentos cardíacos e até a função do cérebro. No MIT, médicos comparam eletrocardiogramas humanos com dados de um modelo de computador de contrações cardíacas caóticas, numa tentativa de prever com bastante antecedência quando o órgão sofrerá um espasmo fatal.

Ecologistas usam a Matemática do caos para descobrir como, na ausência de mudanças ambientais fortuitas, populações de espécies podem crescer ou diminuir desordenadamente por conta própria. Packard estuda a tendência de processos caóticos de criar padrões complexos em fenômenos como flocos de neve, cuja forma delicada incorpora uma mistura de estabilidade e instabilidade que só agora começa a ser compreendida. Ele e Farmer utilizam a Física dos sistemas dinâmicos para estudar o sistema imunológico humano, com seus bilhões de componentes e sua capacidade de aprender, memorizar e reconhecer padrões. Para esses cientistas e seus colegas, o caos tornou-se um conjunto de instrumentos capaz de elucidar fatos aparentemente casuais.

Mas é também uma série de atitudes em relação à complexidade - uma nova maneira de ver. Eles sentem que estão revertendo uma tendência científica de analisar sistemas em termos de suas partes constituintes - quarks, cromossomos ou nêutrons. "A tendência científica, particularmente em Física, tem sido pelo reducionismo, uma constante fragmentação das coisas em minúsculos pedacinhos", diz Farmer. "O que as pessoas estão finalmente percebendo é que esse processo é um beco sem saída. Os cientistas estão muito mais interessados na idéia de que o todo pode ser maior que a soma da partes." 

Eles são quantos ??? Alienígenas

ELES SÃO QUANTOS? Alienígenas




Supondo que não estejamos sós no Universo, com quantas civilizações dividimos a Via Láctea? A resposta pode estar na Equação de Drake, criada pelo astrofísico americano Frank Drake em 1961. Essa fórmula enumera sete condições indispensáveis para que um planeta abrigue seres inteligentes e com comunicação avançada (veja na página seguinte). Qual é o resultado? Bem, depende. Do ponto de vista astronômico, R* pode ir de 1 a 10, fp chega a 50% e ne varia de 1 a 3. Os demais valores são desconhecidos. Ou seja, o resultado cresce ou diminui conforme o otimismo ou o pessimismo de quem fizer o cálculo.
Nas contas do próprio Drake, N - o número de civilizações na nossa galáxia capazes de se comunicar com a Terra - chegaria a 10 mil. Nos últimos anos, Drake passou a acreditar que esse número possa ser maior. Um dos motivos, segundo ele explicou à SUPER por e-mail, é que a ciência passou recentemente a admitir a possibilidade de que estrelas-anãs vermelhas - que representam 80% do total - tenham planetas habitáveis. "Uma vez que tal entendimento é recente, com implicações que ainda precisam ser mais bem analisadas, podemos por ora apenas ‘chutar’ quanto isso aumentaria N", disse Drake. "É bem possível que esse número aumente em dez vezes, mas, no momento, trata-se de uma especulação."
Cabe lembrar que Drake é um dos criadores do Projeto Ozma, precursor do Seti (sigla em inglês para Busca por Inteligência Extraterrestre), que caça sinais eletromagnéticos de alienígenas soltos no espaço (leia mais na página 64). Portanto, ele é um otimista. Há 50 anos, quando o homem ainda não havia descoberto planetas extra-solares, viajado até a Lua ou encontrado indícios de água em Marte, ele tentava estimar o número de planetas com civilizações tão avançadas quanto a nossa. Drake sabia que não havia um número exato para a questão, mas decidiu simplificar o raciocínio. O que seria necessário para a vida se desenvolver e evoluir a padrões tecnológicos semelhantes aos da Terra? A resposta está em cada uma das sete variáveis da equação. Se você ignorar as explicações científicas e se limitar ao raciocínio matemático, vai lembrar que um único valor igual a zero numa multiplicação resulta, necessariamente, em zero. Logo, só haverá outra civilização como a nossa se todas aquelas condições se confirmarem.
Como a fórmula liberou a imaginação dos simpatizantes da teoria extraterrestre, otimistas e pessimistas resolveram apresentar as suas versões. No primeiro time, o astrônomo Carl Sagan calculou nada menos do que 1 milhão de civilizações. O escritor de ficção científica Isaac Asimov obteve 530 mil. O astrofísico Thomas R. McDonough chegou a 4 mil. No lado oposto, o psicólogo e diretor da revista Skeptic, Michael Shermer, arredondou as contas para apenas três civilizações avançadas. Apesar dos resultados divergentes, todos brincaram com as variáveis da equação, apoiados por suas opiniões pessoais sobre a composição do Universo. Já o escritor Michael Crichton - autor de O Parque dos Dinossauros - tachou a fórmula de "pseudociência". "Ela é sem sentido e nada tem a ver com ciência. Acredito que ciência envolve a criação de hipóteses testáveis, e a Equação de Drake não pode ser testada", declarou Crichton, há dois anos.
Por que tanta polêmica a respeito de uma simples fórmula matemática? Porque as três últimas variáveis da equação mexem muito mais no vespeiro da biologia, da antropologia e da sociologia que no da astronomia e da física. Mas a maioria dos estudiosos há de concordar: a Equação de Drake é simplesmente mais um jeito de pôr os pensamentos em ordem - além de ser uma fórmula simpática que produz resultados divertidos.

Faça a sua aposta!

N = R*.Fp.Ne.Fl.Fi.Fc.L
N
O número de civilizações avançadas na Via Láctea nas contas de Frank Drake, um otimista, deu 10 mil; nas contas do psicólogo Michael Shermer, um pessimista, deu 3

R*
O número de estrelas semelhantes ao sol formadas na galáxia por ano
Estimativa: 1 a 10

Fp
O percentual dessas estrelas com sistemas planetários
Estimativa: 50%

Ne
O número de planetas, por sistema solar, com ambiente adequado para a vida
Estimativa: 1 a 3

Fl
O percentual de planetas com ambiente adequado nos quais a vida se desenvolveu
Estimativa: 1% a 100%

Fi
O percentual de planetas com vida nos quais a inteligência evoluiu
Estimativa: 1% a 100%

Fc
O percentual de civilizações que desenvolveram uma tecnologia de comunicação
Estimativa: 10% a 100%

L
HÁ quanto tempo essas civilizações se comunicam
Estimativa: desconhecida

Nó da Matemática

NÓ DA MATEMÁTICA



Um certo William Thomson inventou essa história. Em 1860, esse físico irlandês idealizou um modelo para a estrutura dos átomos. À época, existiam duas correntes que tentavam descrever a matéria. Uma dizia que toda ela era formada por pequenos corpos rígidos, a outra sustentava que era constituída por ondas. Alguns fenômenos da natureza reforçavam a primeira teoria, outros davam razão à segunda. No geral, nenhuma das duas parecia muito certa. Thomson unificou ambas com uma idéia engenhosa: a matéria não é formada nem de corpúsculos sólidos nem de ondas. Ela é feita de nós. Nós: não o pronome da segunda pessoa do plural, mas aqueles prosaicos arranjos de cordas no espaço que usamos para fixar gravatas e firmar sapatos.

De acordo com a teoria de Thomson, o Universo é formado por um imenso oceano de um fluido invisível chamado "éter". Os átomos seriam como vórtices nesse fluido. Cada vórtice seria como um nó. Os elementos químicos seriam então os diferentes tipos de nós. O átomo de carbono não passaria de um nó trevo, o oxigênio seria um nó oito e assim por diante.

Era uma teoria interessante, que fez sucesso por algumas décadas. Vinte e cinco anos depois, nasceria o dinamarquês Niels Bohr, o físico que ganhou o prêmio Nobel de 1922 pela criação daquele modelo atômico que estudamos no colégio, com elétrons girando sem parar em volta de núcleos formados de nêutrons e prótons. Bohr mostrou que não havia nó nenhum no coração da matéria. Thomson ficaria na história - não com seu nome de batismo, mas com o título de nobreza que recebeu em 1866 da rainha Vitória, da Inglaterra: lorde Kelvin. Ele foi um pioneiro da termodinâmica, concebeu a lei de conservação de energia e criou a escala de temperatura absoluta - depois batizada de escala Kelvin. Mas sua teoria dos nós passou bem longe do alvo. E, depois disso, foi esquecida pelos físicos.

Não serve pra nada?
Mas nem todos os cientistas esqueceram a teoria dos nós. Alguns deles continuaram fascinados por ela. Em especial, os matemáticos. Para eles, um nó não é um cordão enrolado, é "uma curva no espaço, fechada e que não se auto-intersecta". Nós são arranjos espacias únicos e a vida de alguns matemáticos - em especial aqueles dedicados a uma área chamada "topologia" - é estudar arranjos espaciais. Matemáticos têm mesmo um jeito estranho de ver o mundo.

Um deles, por exemplo, o americano J.W.H. Alexander, descobriu nos anos 1920 que nós nada mais são do que a junção das duas pontas de uma trança. Explica-se: pegue uma tesoura e corte a trança de sua irmã. Depois, junte as extremidades, talvez com superbonder. Os nós científicos não passam disso. (Para não causar um incidente familiar, o experimento pode ser feito com aquelas tranças de mussarela).

Tranças, menina, mussarela... Certo, até que é bonitinho. Mas para que serve isso mesmo? Bem... Não serve para nada. Mas serve para tudo também. "A matemática estuda tudo e nada, ao mesmo tempo", diz o russo Alexei Sossisnky, autor de Knots - Mathematics with a Twist ("Nós - Matemática com uma Torcidinha" sem versão para o português). Nada, porque os matemáticos ocupam-se apenas de abstrações, como números, equações diferenciais, polinômios, figuras geométricas. Tudo, porque qualquer coisa, qualquer objeto da realidade material, pode ser explicado de acordo com os teoremas matemáticos. Basta que os cientistas descubram a lógica à qual elas obedecem.

A matemática é a ciência básica por excelência. Em geral, os matemáticos não se preocupam com aplicações práticas, mas sim com a construção do conhecimento. E, pelo amor de Deus (ou de Newton), não questione a utilidade disso. Lembre-se de que tanto o computador no qual escrevo essas linhas quanto o walkman no qual você escuta música jamais existiriam sem a ciência básica. Pois então. Desde a humilhação de Kelvin e de seu modelo de matéria, a teoria dos nós foi relegada a esse reino, o da ciência básica.

Como bem conhecem marinheiros, alpinistas e escoteiros, há dezenas, centenas de tipos de nós, com nomes singelos como frade, simples, oito, ladrão... Há até um nó de nome "singelo". Os nós estudados pelos matemáticos da teoria dos nós são esses mesmos. Só que eles estão em um plano abstrato. A linha que os amarra, por exemplo, pode ser infinita. E também finíssima, permitindo inúmeros cruzamentos e amarras.

A partir daí, os nós são usados para descrever nosso mundo, de modo semelhante ao que fazemos com os números. Lembre-se que números também são abstrações, idéias criadas pelo homem, só que a lógica que eles seguem é perfeita a ponto de fornecerem a medida de praticamente tudo. Pense na sua saúde financeira ou no último exame de sangue. Sem números seria impossível medir essas coisas.

A idéia dessa área da ciência é usar nós para abstrair conceitos que não podem ser reduzidos a números - e, assim como eles, os nós poderiam ser usados para "traduzir" a natureza. Isso não é fácil porque as propriedades matemáticas dos nós nem foram completamente definidas, como as dos números. Até hoje não existe, por exemplo, uma forma de colocar nós em ordem crescente ou decrescente. Também não há uma regra que consiga diferenciar, em todos os casos, um nó de outro. Está justamente aí o grande desafio dos pesquisadores. Enquanto essas coisas não forem resolvidas, não haverá uma "teoria geral dos nós" e ficará difícil encontrar aplicações para essa ciência.

Isso apesar dos esforços de Horst Schubert, o alemão que, no final dos anos 1940, descobriu relações intrigantes entre os nós e a aritmética. Por exemplo, ele percebeu que a "soma" de um nó com outro (chamada composição) é similar à multiplicação matemática. Há, por exemplo, um nó parecido com o número 1 da multiplicação (o nó trivial). Ou seja, ele pode ser "associado" a qualquer outro nó sem alterá-lo, assim como 2 x 1 = 2. Os nós também podem ser fatorados em "primos", aqueles números (2, 3, 5, 7, 9, 11...) que só são divisíveis por 1 (ou por um "nó trivial") e por eles próprios.

Schubert demonstrou também que certas propriedades numéricas não existem para os nós (ou estão ainda além de nossa compreensão). Uma delas, já contada aqui, é a de que eles não têm ordem crescente nem decrescente. Outra é que não podem ser divididos em partes unas (4 = 1 + 1 + 1 +1). Por isso mesmo, embora úteis para sua compreensão, os estudos do alemão não serviram a uma classificação total dos nós. Seus colegas, na época, viam Schubert como um adepto da "arte pela arte", cujo campo de estudo, por mais interessante que fosse, não nos levaria a lugar nenhum.

Outro pesquisador importante da área foi o igualmente alemão Kurt Reidemeister. Reidemeister avançou muito nas pesquisas ao inventar um jeito novo de estudar nós. Sua idéia foi torná-los bidimensionais - ou simplesmente projetar sua estrutura tridimensional em uma folha de papel, facilitando sua compreensão. No final dos anos 1920, o alemão percebeu que alguns movimentos se repetem sempre que se tenta transformar um nó em outro. Nasceram aí os famosos (entre os matemáticos) "movimentos de Reidemeister".

Nós genéticos e quânticos
Pois justo quando os cientistas começaram a acreditar que os nós não passam de ciência básica, sem aplicação prática, algumas pesquisas começaram a mudar essa maré. Em 1973, um matemático inglês ocupado em descrever o comportamento dos nós propôs um experimento imaginário que envolvia a prosaica dupla tesoura-e-cola. John Conway resolveu alterar a orientação dos cruzamentos de um nó cortando e colando os fios que o compõem (veja no infográfico à esquerda).

É uma brincadeira fácil, basta que você imagine um cruzamento de fios como um "X". Um "X" é composto por dois traços na diagonal, um sobre o outro, certo? Então, você corta o traço que está por baixo, transfere-o para cima e depois cola de novo. Pronto, você alterou o cruzamento dos fios e realizou o primeiro dos movimentos de Conway, chamado de flip. O segundo, smoothing, é ainda mais simples. Você corta os traços do "X" e depois cola os dois separadamente, então o cruzamento é desfeito e você obtém dois traços assim: )( . Essas operações podem ser aplicadas a todo e qualquer nó. Conway estava interessado em "ciência pura". Não passava por sua cabeça que algo "útil" saísse daí. Mas...

Seus movimentos são idênticos aos que acontecem na fita do DNA (estimulados por enzimas) na hora da troca de material genético. E isso quer dizer que, se algum dia o comportamento dos nós for desvendado por completo pela teoria matemática, há grandes chances de os biológos conseguirem terminar de montar o quebra-cabeça da genética.

Mas outra descoberta chocou ainda mais os cientistas - em especial os físicos, aqueles mesmos que renegaram a teoria dos nós de Kelvin. Sabe quando um comentarista esportivo dispara o clichê "essas coisas só acontecem no futebol", como quando um sujeito marca um gol contra e, logo em seguida, salva seu time com o gol de empate? Pois então, a história que segue é um daqueles casos "que só acontecem na ciência mesmo". Tem a ver com os quanta (plural de quantum), a base da física quântica. Os quanta são a menor quantidade de qualquer coisa possível no Universo - sua existência nunca foi verificada experimentalmente, mas é prevista pela teoria. Eles são ainda mais básicos - e menores - que os elétrons, prótons e nêutrons que compõem o modelo de átomo de Niels Bohr.

Pois uma dupla de cientistas - C.P.N. Yang e R.J. Baxter - , um estudando grupos quânticos, outro procurando entender o comportamento dos gases, descobriu independentemente uma mesma equação: a equação de Yang-Baxter, que ajuda a explicar os movimentos desses misteriosos quanta. Pois bem, os dois chegaram à conclusão de que esses movimentos são idênticos a um daqueles descritos pelo matemático alemão Reidemeister nos anos 1920. Ou seja: os quanta se comportam como nós!
O mais legal é que o principal criador da física quântica foi justamente o mesmo Niels Bohr que derrubou a teoria dos nós do lorde Kelvin. No final das contas, por meios tortos, Bohr acabou devolvendo aos nós o privilégio de ajudar a explicar toda a matéria que existe no Universo. Depois de tudo isso peço que você, caro leitor, preste mais atenção ao atar o cadarço do seu sapato. Ali pode estar a chave de uma revolução científica.